Newton f(z) = z^p -1

La méthode de Newton est un algorithme utilisé pour trouver les racines d'une équation polynômiale par approximations successives jusqu'à que la valeur correcte soit atteinte. Dans le cas où l'on se trouve sur une ligne entre deux racines, dans ce cas là la séquence explose en chaos et dont la divergence est de plus en plus grande en fonction du nombre d'itérations. Comportement chaotique quand l'équation ne possède pas de racines réelles. Ce type de fractal montre le résultat du polynôme Z = Z^n - 1, lequel ce pôlynome a n racines dans le plan complexe.

f(z) = z^p - 1
f'(z) = p * z^(p-1)
z = z - (f(z) / f'(z))

Newton f(z) = z^p +z^(p-1)-1

f(z) = z^p + z^(p-1) - 1
f'(z) = p * z^(p-1) + (p-1) * z^(p-2)
z = z - (f(z) / f'(z))

Newton f(z) = z^p +z^(p-1)+z-1

f(z) = z^p + z^(p-1) - 1
f'(z) = p * z^(p-1) + (p-1) * z^(p-2)
z = z - (f(z) / f'(z))

Newton f(z) = z^p + 2z^(p-1) + z^(p-2) + 3

Newton f(z) = z^p + 3z^(p-1) + 2z^(p-2) + 0.2z + 1

f(z) = z^p + 3z^(p-1) + 2z^(p-2) + 0.2z^(p-3) + 1
f'(z) = p * z^(p-1) + (p-1) * 3z^(p-2) + (p-2) * 2z^(p-3) + (p-3) * 0.2z^(p-4)
z = z - (f(z) / f'(z))

Newton f(z) = -2z^p + z^(p-1) + z^(p-2) - 2z^(p-3) - 1

f(z) = -2z^p + z^(p-1) + z^(p-2) - 2z^(p-3) - 1
f'(z) = -p * 2z^(p-1) + (p-1) * z^(p-2) + (p-2) * z^(p-3) - (p-3) * 2z^(p-4)
z = z - (f(z) / f'(z))